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MATEMATICA, FISICA Y TRUCOS
MATEMATICA
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Historia de las Ciencias Exactas

Se cuenta que una vez, un filósofo que, había leído y comprendido los teoremas de Gödel, preguntó ¿por qué se hace tanta bulla sobre las engorrosas combinaciones de unas cuantas patitas de araña sobre el papel? Seguramente dicho filósofo había comprendido formalmente los resultados. Pero no había captado la inmensa significación de este resultado para la filosofía del conocimiento, porque, probablemente no se había dado el trabajo de analizar el proceso racional que lo había generado. Pues cuando se medita sobre su significación dentro del ámbito del conocimiento en general se descubre que todo el proceso es a la vez una culminación y un desenlace de algo que se inicia hace casi veinticinco siglos en Grecia.
La situación a fines de la civilización griega, era la siguiente: sobre la base de las matemáticas prehelénicas, y de aportes de los matemáticos griegos, se había logrado demostrar una gran cantidad de teoremas y formar así una "colección".
La importancia que tenían para los pensadores griegos las matemáticas es muy evidente en Platón y Aristóteles, quien realizó un aporte decisivo al sistematizar las reglas lógicas, es decir, al codificar y ordenar por primera vez los procedimientos que sigue el razonamiento para lograr demostraciones. Estos procedimientos eran antes inciertos y confusos, y la lógica aristotélica logra por primera vez una sistematización de las relaciones y encadenamientos entre proposiciones.

Historia de los signos matemáticos

Los signos matemáticos son figuras, señales y abreviaturas utilizados en matemáticas para denotar entidades, relaciones y operaciones. El orígen de estos símbolos no se conoce con exactitud. El orígen del cero, es desconocido, pero hay confirmación de que existía antes del año 400 d. C. La extención del sistema de lugares decimales a los que representan valores inferiores a la unidad se atribuye al matemático holandés Simon Stevin (Simon de Brujas), que llamó a las décimas, centésimas y milésimas, primas, secundas y tercias. Para indicar los órdenes utilizaba números en un círculo: 4,628 se escribía 40612283. Antes de 1492 se empezó a utilizar un punto para separar la parte decimal de un número. Más tarde se usó una raya vertical. En su Exempelbüchlein de 1530, el matemático alemán Christoff Rudolf resolvía un problema de interés compuesto usando fracciones decimales. Johannes Kepler empezó a utilizar la coma para separar los espacios decimales y Justus Byrgius usaba fracciones decimales de la forma 3,2. Los antiguos egipcios tenían símbolos para la adición y la igualdad, y los griegos, hindúes y árabes tenían símbolos para la igualdad y las incógnitas. Las expresiones de operaciones matemáticas tenían que ser escritas por completo o expresadas mediante abreviaturas de las palabras.
Matemáticas en la antigüedad

Las primeras referencias de matemáticas avanzadas y organizadas son del tercer milenio a. C. en Babilonia y Egipto. Estaban dominadas por la aritmética, con interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.
Los primeros libros egipcios, escritos por el año 1800 a.C. muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100...), similar al utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas y las centenas de cada número. La multiplicación se basaba en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso. Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (a), junto con la fracción B , para expresar todas las fracciones. Los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y pirámides. Para calcular el área de un círculo usaban un cuadrado de lado U del diámetro del círculo, valor muy cercano a Pi (3,14) aunque su valor es 3,16.


ORÍGEN Y SIGNIFICADO DE LOS NÚMEROS

LA NUMERACIÓN

Es indudable que el hombre aprendió a contar y a conocer los eventos estelares antes que escribir, pues así lo indican claramente su conocimiento de las posiciones de los astros, del inicio de las estaciones y sus calendarios lunares, pues, según A. Marshack ya existían en el neolítico de grabados en hueso; y también lo demuestra la existencia de cromlechs, como el de Stonehenge, el más famoso de todos, para cuya construcción eran precisos conocimientos astronómicos y de cálculos.

El nacimiento de la agricultura y la ganadería también hicieron necesarios dichos conocimientos para saber cuándo se debía sembrar, realizar el recuento de las cosechas o aparear al ganado. Así también con la navegación, en la que era indispensable conocer cuándo y dónde se producían las mareas y corrientes marinas que podían imposibilitar o facilitar la navegación de las pequeñas embarcaciones de que disponían. De aquí su atenta observación y conocimiento de las fases lunares, del curso solar y de los demás astros visibles. Podemos imaginarnos que empezaron sirviéndose de simples series de trazos a los que añadirían una representación de lo que se contaba.

Los primeros sistemas reales de numeración que conocemos pertenecen a egipcios y sumerios. Dichos sistemas de numeración no pueden ser más sencillos. Una mano contiene cinco dedos y dos manos 10; es por ello que los egipcios tomaron el 10 como base para su numeración, mientras que los sumerios adoptaron un sistema sexagesimal, es decir, de base sesenta. 

Sesenta constituía la primera gran unidad, y sesenta veces sesenta (3.600) fue por mucho tiempo el número más allá del cual no se concebía pudiera haber más números, y de aquí su nombre de sar (círculo, totalidad).

Poco a poco, el sistema decimal fue suplantando al sexagesimal en la vida corriente, pero en los cálculos matemáticos de sacerdotes y sabios el sistema sexagesimal siguió manteniéndose como indispensable para verificar cálculos complicados, a la vez que se convertía en una especie de numeración secreta.

Sin embargo, se encontraron con números que era imposible transcribir con dicho sistema, el primero de los cuales era 1/7; es imposible expresar la séptima parte de algo mediante fracciones sexagesimales, pues se necesita una serie interminable: 1/7 = 8/60 + 34/3.600 + 17/216.000 + ... que los escribas anotaban como 8,34,17.

Esta irreductibilidad del número 7 hizo que lo consideraran de mal agüero y lo atribuyeran a los demonios divinos, los cuales eran siete veces siete, es decir, totalmente irreductubles. De aquí se deducía que el más prudente era no emprender ningún trabajo en los días 7, 14 y 28 de cada mes. Ese fue el origen de la semana, y si bien el Génesis y demás libros sagrados de los hebreos hicieron desaparecer el sentido maléfico del siete, todavía lo sacralizaron más.

Los antiguos griegos adoptaron el mismo sistema de numeración decimal pero con otros símbolos.

LETRAS Y NUMEROS  

Para los pueblos mesopotámicos, números y letras se equiparan y adquieren significados propios, y aunque esta equivalencia parece desaparecer con dichos pueblos, reaparece en la Antigua Grecia cuando adopta el alfabeto que ha permanecido vigente hasta nuestros días, anulando el anterior sistema de numeración y asimilando un número a cada letra en forma correlativa.

 Posteriormente, si bien la equivalencia letra-número sigue vigente en el mundo cristiano, lo es de una forma soterrada; es decir, la emplearon los teólogos para aclarar ciertos puntos de la doctrina; san Ireneo, por ejemplo, explica por qué la Iglesia admite cuatro evangelios en el Nuevo Testamento, ni uno más ni uno menos, y lo hace diciendo:

En el mundo en que vivimos existen cuatro regiones u cuatro vientos principales: Dado que la Iglesia se extiende sobre toda la tierra, y dado que el Evangelio es fundamento de la Iglesia y aliento de vida, es razonable que para sostener la Iglesia existan cuatro columnas expandiendo por todas partes la incorruptibilidad y la vida para los hombres. De ello se desprende sin la menor duda, que el Verbo de Dios nos ha dado un cuádruple Evangelio inspirado solo por un espíritu.

 

NUMEROLOGÍA GRIEGA  

Según la doctrina pitagórica, el número es algo cualitativo que de antemano se halla presente en todo y no se trata de un continuo cuantitativo infinito: el uno, el dos, el tres, etc. no son cantidades, sino determinaciones entre las cuales no existe un intervalo infinitamente divisible, sino una oposición en la cual y sólo en ella- cada uno de los términos es lo que es.

Por ello, todo lo que constituye el ser de algo es número; en efecto, el uno de los pitagóricos no es la unidad uno, menor de 1,1 y mayor de 0,9, sino que es la unidad fundamental; toda cosa que exista es uno, y dos será la dualidad como otro uno opuesto al primero. Esto es uno y aquello es dos; por lo tanto, la dualidad es asumida en la unidad y la unidad remite de nuevo a la dualidad.

De aquí que el número sea la alternancia entre la unidad y la dualidad, entre lo impar y lo par, entre lo limitado y lo ilimitado. También nos dicen que la unidad que sobra en lo impar es lo que constituye su límite, y que el tres es un retorno a la unidad al suponer la alterabilidad, la limitación de lo ilimitado en la forma de un triángulo, la figura más simple, origen de todas la demás figuras planas. Cuatro es esta misma unidad de ambos términos (unidad y dualidad), pero establecida por el lado de la dualidad, y la suma de estos cuatro términos, 1 + 2 + 3 + 4  forma la tetraktys, o sea el número 10, que nos retorna al 1: 1 + 0 = 1.

Principio de todos los números, el 1 contiene a la vez el par y el impar como demuestra Theon de Esmirna, pitagórico del siglo II:

uno + par = impar

uno + impar = par

En realidad 2 y 3 no son números sino los principios de par e impar.

Y lo mismo ocurre con las representaciones geométricas, en las que el punto es la unidad, la línea la dualidad, la oposiciòn de un algo a otro algo, es decir, la distancia que los separa. Con el tres se recupera la unidad al formar algo cerrado en sí mismo, pues tres puntos delimitan una figura plana; pero sólo con el cuatro puede construirse un cuerpo, es decir, una figura en el espacio.

En el universo todo es ritmo, alternancia y geometría, y por ello, las relaciones que se desprenden pueden transmitirse bajo la forma de figuras armónicas de naturaleza vibratoria que actúan sobre nosotros. Y si el Cosmos es número y ritmo, podemos pasar de la armonía de los sonidos a la de las almas. Como dice Proclo: El número es el glorioso padre de los dioses y de los hombres; y sus seguidores identifican la Causa Primera la unidad- con Dios.

Es por ello, que a partir de Pitágoras o quien sabe desde mucho antes- se considera que cada número posee un valor cualitativo (además del cuantitativo) que le confiere un significado particular, tanto físico, como psíquico y espiritual.

Simbolismo de los números de 1 al 10, de acuerdo con las enseñanzas pitagóricas  

UNO: Es el símbolo de la unidad indivisible, de la continuidad y la estabilidad; el centro cósmico e inmaterial, impar, creador, iniciador y pionero. De aquí que se asocie al macho como poder generador activo e indique creación, impulso y actividad.

DOS: No engendra ninguna forma y de hecho tampoco es un número, sino el principio de la paridad, el símbolo de la oposición, conflicto, y reflexión. Es la dualidad como contraposición a la unidad, la pasividad como opuesta a la actividad; es el primer número par y como tal, femenino y complemento del principio generador impar y masculino, posibilitando así la continuidad y la multiplicidad. Es el punto que se desplaza dando origen a la línea, marcando su comienzo y su fin; en el tiempo y en el espacio indica el inicio de la realización, lo que en la vida indica dirección y destino y en los objetos determina la simetría, reflejo de trabajo y belleza.

El reino de la dualidad es universal y hace que todo sea ambivalente, que en todo exista polaridad, que al bien se oponga el mal, a la luz la oscuridad, a la energía la materia, y sea la limitación de lo ilimitado. Pero al significar el primero de los núcleos materiales, la naturaleza como opuesta al creador, también implica la imperfección ante la perfección, y por ello, en el fondo, la insatisfacción que impulsa seguir adelante.

TRES: Es el ternario en el que la tensión de los opuestos, entre par e impar, se resuelve dando origen a un nuevo impar; es el símbolo de la generación a partir de la unión entre dos complementarios, del macho y la hembra para dar origen al hijo; la espiritualidad como complemento de cuerpo y alma; es la línea que se desplaza sobre su punto de origen para dar nacimiento al más simple de todas las figuras: el triángulo, y con él todas las figuras planas. Por ello es apto para reproducir eternamente las mismas estructuras. El tres cierra un ciclo, una primera totalidad que no es más que otro uno, otro impar en el que se iniciará el próximo ciclo; como dice Platón en el Timeo: Es imposible combinar bien el conjunto de dos cosas sin una tercera, se necesita un lazo que las una.

CUATRO: Es a la vez el segundo número par y el regreso a la unidad fundamental en un nivel superior, como lo evidencia su reducción mística en la que

1 + 2 + 3 + 4  = 10 = 1 + 0 = 1

Simboliza la potencia pro excelencia, pues en él, la unidad completa al ternario al unirse al mismo dando origen a la cruz y al cuadrado y, lo que es más importante, a las cuatro dimensiones del espacio, es decir, la determinación material y corpórea. Son los cuatro principios elementales, Fuego, Tierra, Aire y Agua, que conforman el Universo; los cuatro puntos cardinales, los cuatro pilares del Universo, las cuatro fases de la Luna y toda la infinidad de cuaternarios que sirven para definir una unidad superior.

Platón decía que el ternario es el número de la idea y el cuaternario es la realización de la idea. Por esta causa, en la séptuple organización de las direcciones  del espacio, el ternario se halla situado en la vertical (tres mundos o tres niveles) mientras que el cuaternario se halla dispuesto en la horizontal, en el mundo de lo manifestado.

CINCO: Con el cinco hace aparición una nueva dimensión: el tiempo, lo que también equivale a la animación de la materia mediante la vida al concederle continuidad y sucesión. Los griegos le llamaban el número nupcial por su posición intermedia entre los cuatro primeros y los cuatro últimos números de la década. Simboliza al hombre como entidad completa e intermediaria entre el mundo inferior y el mundo divino. Es el hombre encerrado en el pentagrama revelador de la divina proporción, con sus cuatro miembros regidos por la cabeza, y los cuatro dedos regidos por el pulgar. Pero además, por su carácter de intermediario, puede ser un número destructor de lo temporal, mutable y perecedero.

Es el primer número que manifiesta todas las posibilidades del Universo, y por ello, los pitagóricos tenían como signo para reconocerse la estrella de cinco puntas. Por último, cuando se le representa mediante un cuadrado con un punto en su centro, representa la totalidad material (el cuaternario) y su esencia.

SEIS: Representado por la estrella de seis puntas, muestra el equilibrio entre dos triángulos enlazados y opuestos (Fuego y Agua); es por ello que se descompone como 3 + 3, como conjunción del tres consigo mismo. Es la oposición entre el Creador y su creación en un equilibrio indefinido, oposición que no implica necesariamente contradicción, pero que es fuente de todas las ambivalencias. Para los pitagóricos es el número perfecto, dado que el producto de los números que lo componen es igual a su suma:

1 + 2 + 3 = 6; y 1 x 2 x 3 = 6

SIETE: Ya vimos al estudiar el cuatro que su vuelta a la unidad significaba la realización de la unidad del mundo. Ahora al llegar al siete, lo que se realiza es la unidad universal. Este parentesco con el cuatro, símbolo de la Tierra, hace que se le atribuyan los siete astros errantes o planetas. Cuando procede del 6 + 1 se representa por una estrella de seis puntas con un punto en su centro, es el equilibrio tendiendo a la interioridad, revelando el misterio de la circulación de las fuerzas de la naturaleza.

OCHO: Es el primer número cúbico (aparte del 1), y en él se manifiesta el volumen. Simboliza la regeneración espiritual y la mediación entre el orden natural y el divino, por ser intermediario entre el círculo (símbolo de eternidad) y el cuadrado (símbolo de materialidad), ala vez que la estabilización en uno o en otro estado.

Refleja una armonía, pero también un cambio de nivel, pues siendo un número par y pasivo, puede dividirse y subdividirse siempre en números iguales:

8 = 4 + 4 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

De aquí que otro de sus significados sea el equilibrio cósmico, de la equidad y la justicia.

NUEVE: En la creación, los mundos son tres: cielo, tierra e infierno, y cada mundo es simbolizado por una tríada; por ello el nueve es el número que cierra el tercer ciclo a partir de la unidad, y con ello, la creación.

Perménides dice que el nueve es el número de las cosas absolutas, y en esta misma línea, debemos hacer constar que las nueve musas representaban a la totalidad de los conocimientos humanos. Además es también el número de la perfección, pues el feto humano nace al mes noveno, ya totalmente perfecto.

Porfirio, en sus Eneadas (conjunto de nueve) formas por 54 tratados, dice: he tenido la alegría de hallar el producto del número perfecto, por el nueve. Y en esta estructura numerológica, intenta simbolizar su visión total, cósmica, humana y teológica. Después de la emanación del Uno, con el retorno al Uno se completa el ciclo del Universo.

DIEZ: Tiene el sentido de la totalidad, de final, de retorno a la unidad finalizando el ciclo de los nueve primeros números. Para los pitagóricos es la santa tetraktys, el más sagrado de todos los números por simbolizar a la creación universal, fuente y raíz de la eterna naturaleza; y si todo deriva de ella, todo vuelve a ella. Es pues una imagen de la totalidad en movimiento.

NUMERACIÓN ARABIGA  

Referente a este tema diremos que la invención de las cifras arábigas es de origen hindú y fueron introducidas en España durante la ocupación árabe (de aquí su nombre), desde donde se expandieron a todo el mundo cristiano a partir del año 965 gracias a la autoridad del papa Silvestre II.

Ábaco

 

El ábaco es una calculadora que proviene de la antigua China. Consiste en hileras de cuentas que representan las unidades, las decenas, las centenas y los millares. En muchos pueblos asiáticos se usa todavía para sumar, restar, multiplicar y dividir con rapidez.

 

Momentos fundamentales en la evolución del concepto de número

Aportación

Autor

País

Época

1) Descubrimiento de los irracionales

Pitágoras

Grecia

Siglo VI a.C

2) Primera crisis del concepto de infinito

Zenón - Platón - Aristóteles

Grecia

Siglo IV a.C

3) Primera formulación del concepto de límite

Arquímedes

Grecia

Siglo III a.C

4) Invención del símbolo cero

Anónimo

India

1° siglos de nuestra era

5) Números negativos

Anónimo

India

1° siglos de nuestra era

6) Primer empleo sistemático de las fracciones contínuas

Bombelli

Italia

XVI

7) Primera formulación de los números complejos

Cardano - Bombelli

Italia

XVI

8) Invención de la notación literal

Viéte

Francia

Fines del siglo XVI

9) Descubrimiento del teorema de factoreo

Harriot

Inglaterra

1631

10) Formulación de infinitesimalidad

Cavalieri

Italia

1635

11) Primera formulación de conjuntos finitos

Galileo

Italia

1638

12) Invención de la geometría analítica

Descartes

Francia

1639

13) Primera formulación del principio de inducción matemática

Pascal

Francia

1654

14) Invención del cálculo infinitesimal

Newton - Leibniz

Inglaterra - Alemania

Alrededor de 1677

15) Primer empleo sistemático de las series infinitas

Newton - Leibniz

Inglaterra - Alemania

Alrededor de 1677

16) Descubrimiento de una interpretación geométrica de los números complejos

Gauss

Alemania

1797

17) Primera formulación de la potencia de un conjunto

Bolzano

Alemania

1820

18) Descubrimiento de números algebraicos no expresables por medio de radicales

Abel

Noruega

1825

19) Invención de los cuaterniones

Hamilton

G.Bretaña

1843

20) Descubrimiento de los números trascendentes

Liouville

Francia

1844

21) Primera teoría de las magnitudes extensivas

Grassmann

Alemania

1844

22) Primera formulación explícita del principio de permanencia de las leyes formales

Hankel

Alemania

1867

23) Primera teoría científica de los números irracionales

Dedekind

Alemania

1872

24) Segunda teoría científica de los números irracionales

Cantor

Alemania

1883

25) Invención de los números transfinitos

Cantor

Alemania

1883

26) Descubrimiento de las antinonias de la teoría de conjuntos

Burali-Forti

Italia

1897

Historia de la geometría analítica

 

La geometría analítica no es una nueva geometría, sino la geometría misma estudiada con el auxilio del análisis una vez establecidos sus fundamentos con sus propios recursos. Así la concibió René Descartes, el sabio filósofo y matemático francés a quien se considera como el creador de este ingenioso método científico por haberlo dado a conocer públicamente, antes que nadie, en uno de los tres apéndices que acompañaban a su famosos Discurso del Método, obra que apareció en Leyden en el año 1637. CIerto es que un año antes el inspirado y talentoso matemático de la misma nacionalidad, Pierre de Fermat, comunicaba a su amigo Gilles Personier de Roverbal, en carta fechada el 22 de septiembre de 1636, trabajos reveladores de que ya poseía el referido método; pero a pesar de ello y de que, al publicarse sus obras póstumas en 1679, se conocieron otras importantes contribuciones suyas a la geometría analítica, sobre temas que hasta entonces no habían sido tratados (tales como la ecuación de la recta y la de cada uno de los diversos tipos de cónicas), todo lo cual le acredita su condición de precursor de esta disciplina científica, es justo reconocer que la ciencia le debe a Descartes la prioridad de la divulgación del método que permite aplicar sistemáticamente el análisis al estudio y desarrollo de la geometría. Además, las ideas de Descartes sobre este particular no provienen del año en que publicó su trabajo, sino de mucho tiempo atrás. Según él, mientras actuaba como voluntario en la campaña del Danubio de la guerra de treinta años, encontrándose en Neuberg, tuvo tres sueños en la noche del 10 de noviembre de 1619, y esos sueños le sugirieron las primeras ideas sobre lo que después de maduras reflexiones habría de ser su filosofía y su geometría analítica. Por eso consideraba a ese día como el más importante de su vida, como el que decidió su porvenir.

Descartes, atendiendo más al carácter de los temas que al nuevo método científico de que se valió para desarrollarlos, no asignó a este último un nombre especial y tituló a su trabajo La Géométrie. El nombre de geometría analítica con que actualmente se designa a esta disciplina es muy posterior. Refiere el profesor Benjamín Segre, de Bologna, que esa expresión aparece por primera vez en la página 389 del tomo I de la primera edición inglesa de las obras completas de Newton, publicada por S. Horsley en 1779, pero sin referirse en tal caso a lo que hoy significa esa denominación, sino como palabras iniciales del título "Geometria analytica sive specimina artis analyticae" adjudicado en dicha edición a una de las obras de aquel matemático, aparecida en 1736 con el título originario de "The method of fluxions and infinite series". Quien empleó por primera vez la expresión geometría analítica con el sentido que tiene actualmente, fue el matemático Lacroix, en 1787, pero no lo hizo tampoco en un libro de la especialidad, sino en el prólogo de su Tratado de cálculo diferencial e integral. Por fin, ya como título de un libro de la materia, la adopta el profesor J.G.Garnier para sus "Eléments de Géometrie Analytique", libro publicado en París en el año 1808.

El método de Descartes y Fermat, que constituye la esencia de la geometría analítica, consta de tres pasos, a saber:
a) transformación del problema geométrico considerado en un problema de análisis matemático;
b) resolución de este nuevo problema mediante los recursos propios del referido análisis;
c) interpretación geométrica de la solución analítica obtenida.
Esta interpretación geométrica constituye la solución del problema primitivo.

Los antiguos habían procedido justamente a la inversa para resolver cuestiones de análisis por medio de la geometría, ideando así un método indirecto que bien podría llamarse análisis geométrico. Pitágoras, por ejemplo, en el siglo sexto antes de Jesucristo, representaba las unidades numéricas por bolitas de un ábaco y, disponiéndolas geométricamente (en forma de cuadrados o triángulos), deducía, de las propiedades de las figuras obtenidas, las fórmulas de la suma de los n primeros números impares y de la suma de los n primeros números naturales. Los nombrs de cuadrado o cubo, que todavía consrvan la segunda y tercera potencia de un número, provienen de que los números se representaban por sergmentos, superficies o volúmenes cuyas medidas fueran iguales a ellos, y así: un producto de dos números se representaba por un rectángulo cuyos lados fueran los representantes geométricos de los factores;un producto de tres números por un paralelepípedo rectángulo cuyas aristas representaran estos factores y, como caso particular, la segunda y tercera potencia por el cuadrado o cubo correspondiente. De este modo deducía Euclides, geométricamente, la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, las fórmulas del desarrollo del cuadrado de la suma y de la diferencia de dos números, y varias otras cuestiones de carácter aritmético y algebraico. Este método indirecto subsistió hasta el siglo XVII debido a que, hasta entonces, la aritmética y el álgebra carecían todavía de un simbolismo adecuado y a que la geometría, perfectamente establecida desde la época de Euclides, proporcionaba medios de prueba suficientemente seguros. Utilizaron este método: Cardan y Tartaglia, para justificar la validez de sus fórmulas para la resolución de las ecuaciones de tercer grado; Rafael Bombelli, en gran parte de su Algebra; y hasta el propio Viéte, considerado como el creador dle álgebra moderna.

Es posible que el análisis geométrico de los antiguos haya sugerido, por contraste, el método opuesto de la geometría analítica y un modo sencillo de hacer efectivos sus pasos primero y tercero. Puesto que las medidas de las cantidades geométricas son números abstractos, resulta natural representar a dichas cantidades por estos números tan intimamente vinculados a ellas y, luego de operar con tales representantes, reponer, en lugar de los resultados numéricos obtenidos, las cantidades cuyas mediadas expresen. Esto es precisamente lo que hacían los algebristas árabes para resolver problemas geométricos, cuyas correspondientes construcciones justificaban por medio de las ecuaciones a que daban lugar dichos problemas, y de igual procedimiento se valieron más tarde Leonardo de Pisa y Luca Pacioli. Pero este tipo de representación numérica de los elementos geométricos tiene un alcance restringido. No todos esos elementos son cantidades . Los entes fundamentales (punto, recta y plano), por ejemplo, no son medibles; y tampoco lo son las líneas y superficies infinitas. El gran mérito de la geometría analítica cartesiana consistió en representar a los puntos por coordenadas, y a las líneas y superficies por ecuaciones cuyas variables son las coordenadas de los puntos que las constituyen. Las coordenadas son también medidas, pero no de los elementos que representan, sino de cantidades auxiliares (segmentos o ángulos) elegidas para determinar su posición con respecto a lugares de referencia fijados previamente. tampoco era nuevo el concepto de coordenada, pero no había sido usado aún como medio de representación analítica sino como recurso para ubicar puntos, cuerpos, sitios, etc. Los cuatro puntos cardinales, concebidos desde la más remota antigüedad, determinan con el punto ocupado por el observador dos ejes perpendiculares con respecto a los cuales se establecen, mediante ángulos, los demás rumbos. Los más vierjos conocimientos astronómicos incluyen las coordenadas celestes (ascensión recta y declinación) para determinar la posición de los astros; Hiparco, en el siglo segundo antes de Jesucristo, introdujo las coordenadas geográficas (longitudo y latitud) para la ubicación de puntos sobre la superficie terrestre; "los romanos, al fundar ciudades, acostumbraban a trazar en el lugar dos surcos perpendiculares entre sí, a los cuales referían la futura posición de casas, plazas, caminos, etc"; y en el delineamiento de las ciudades funadas en nuestro suelo por los conquistadores españoles se advierte siempre un perfecto sistema de coordenadas, tanto en la elección de dos calles principales perpendiculares entre sí (ejes), a partir de las cuales las que las cortan cambian de nombre (lo que equivale a la distinción de signos), como en la división en manzanas cuadradas y la asignación, a cada casa, de un número que expresa su distancia a contar de la correspondiente calle principal.

La genial idea de introducir las coordenadas en la geometría trajo consecuencias insospechadas. Problemas que no se habían podido resolver por los métodos de la geometría pura encontraron rápida y segura solución. se dice que la invención dela geometría analítica por Descartes se debió a su empeño por resolver un problema de Pappus que durante siglos había desafiado el ingenio de los matemáticos sin que hasta entonces nadie hubiera podido hallar una solución general, cosa que consiguió aquel sabio gracias al empleo de su método analítico.

Desde entonces, la geometría analítica siguió contribuyendo poderosamente al desarrollo de la geometría, tanto de la métrica euclidiana -única que existía en la época de su creación- como de la proyectiva, las no euclideanas, la diferencial y la algebraica ideadas posteriormente. Este hecho se explica teniendo en cuenta una certera observación expresada por Rouse Ball en los siguientes términos: "En cuanto a la geometría analítica, no se ha dejado jamás de considerarla como una ciencia indispensable a todo matemático, yc omo un método de investigación incomparablemente más potente que la geometría de los antiguos. Esta última constituye, sin duda alguna, una admirable enseñanza intelectual, y permite con frecuencia una demostración elegante de toda proposición cuya exactitud ya es conocida, pero exige una manera de proceder especial para cada problema particular que se aborde. La geometría analítica nos da algunas reglas simples por medio de las cuales se puede establecer una proposición geométrica o reconocer su inexactitud". A ello debemos agregar que facilitó la concepción de la geometría abstracta y ayudó a vencer naturalmente el prejuicio del espacio único y tridimensional, sugiriéndole a David Hilbert la posibilidad, confirmada por él, de considerar a las ternas ordenadas de números relaes, no ya como representantes de puntos geométricos, sino como una de las tantas interpretaciones de esos mismos puntos, admitidas por los axiomas que los definen implícitamente, y mostrando que con igual derecho se puede considerar a las cuaternas ordenadas de números reales como puntos constitutivos de un espacio de cuatro dimensiones, y en general, a los ordenamientos de n números reales como elementos de un espacio de n dimensiones adecuadamente determinado por medio de los axiomas que se adopten. La influencia de la geometría analítica en la invención del cálculo infinitesimal, de la teoría general de las funciones y de la teoría de las funciones analíticas ha sido ampliamente reconocida.

En el orden práctico, la geometría analítica ha encontrado aplicación a través de la estadística y de las ciencias económicas. El matemático francés Émile Borel atribuye a las consecuencias de una rutina pedagógica inexplicable, el que haya todavía hombres civilizados que, habiendo recibido una buena instrucción primaria o aun secundaria, ignoren o crean ignorar lo que son las coordenadas rectangulares. Para él, esas personas se hallan en situación análoga a la de aquél que se quedó maravillado a l saber que desde la infancia había estado hablando en prosa sin saber lo que era prosa hasta que aprendió el nombre de la lengua vulgar. Aquéllos de nuestros contemporáneos -dice- que creen ignorar la geometría analítica y las coordenadas cartesianas, pero que son sin embargo bastante cultos para leer los diarios, "se azorarían sin reparos delante de esos términos misteriosos y se asombrarían en seguida de saber que al mirar la gráfica del alza o baja del precio del pan, ellos han hecho geometría analítica y utilizado las coordenadas cartesianas".

 

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